Discussions with Teachers

GA 295 — 5 September 1919, Stuttgart

Vierzehnte Seminarbesprechung

U. entwickelt die Prinzipien des musikalischen Unterrichts im ersten und zweiten Schuljahr.

Rudolf Steiner: Man sollte nicht versäumen, das Objektive, vom Menschen Abgesonderte, das Instrument, auch hören zu lassen. Immer muß darauf gesehen werden, daß das Kind ziemlich lange vor dem neunten Jahre, in der zweiten Hälfte des zweiten Schuljahres, an das Soloinstrument herankommt, so daß das Klavier sich später anschließen würde für diejenigen, die dafür in Betracht kommen. Das ist ja das Wesentliche, daß wir auf diesem Gebiete richtig anfangen.

T. gibt eine Fortsetzung der Zinsrechnung mit Übergang zur Buchstabenrechnung. Wenn (E) = Endkapital, (A) = Anfangskapital, (Z) = Zins, (P) = Prozentsatz, (T) = Zeit ist so ist (E = A + Z). Da ferner (Z = \frac{A \cdot P \cdot T}{100}) so wird (E = A + \frac{A \cdot P \cdot T}{100})

Rudolf Steiner: In dieser Form kann man ja heute nie ein Kapital anlegen. Diese Form hat nur dann einen Realitätswert, wenn (7) gleich oder kleiner als ein Jahr ist. Denn in der Realität sind zwei Fälle gegeben: entweder man hebt die Zinsen jährlich ab, dann verbleibt immer das gleiche Anfangskapital, oder man läßt die Zinsen beim Kapital, dann braucht man die Zinseszinsrechnung. Läßt man (T) weg, das heißt, rechnet man für ein Jahr, dann ist es real. Es ist notwendig, den Kindern die Realität zu geben.

Es wird gut sein, stramm darauf hinzuarbeiten, daß der Übergang in die Buchstabenrechnung auch wirklich gemacht wird. Zunächst wird man den Übergang entwickeln von der Addition in die Multiplikation, dann von der Subtraktion in die Division.

Rudolf Steiner erläutert dann den Übergang vom Zahlenrechnen zum Buchstabenrechnen an nachfolgendem Beispiel. Man schreibt zunächst eine Summe von Zahlen hin, in welcher die Addenden alle ungleich sind:

$$20 = 7 + 5 + 6 + 2$$

Es können auch einzelne Addenden gleich sein:

$$25=5+5+976$$

Und es können alle Addenden gleich sein:

$$18=6+6+6$$

Geht man nun in der gestern bereits geschilderten Weise dazu über, die Zahlen durch Buchstaben zu ersetzen, so habe ich einmal die Summe (S_1 = a + a + a,) das sind drei (a), dreimal (a=3 \cdot a); dann, (S_2 = a + a + a + a + a,) fünfmal (a=5 \cdot a); dann (S_3 = a + a + a + a + a +a,) siebenmal (a =7 \cdot a) und so weiter.

Ich mache das immerzu, kann es neunmal, einundzwanzigmal, fünfundzwanzigmal machen. Ich mache es (m)-mal: S(S_m = a + a + a + a + a...) (m)-mal -( = m \cdot a.)

So bekomme ich aus der Unbestimmtheit der Anzahl der Addenden den einen Faktor, während der Addend selbst der andere Faktor ist. Auf diese Weise läßt sich leicht aus der Addition die Multiplikation entwickeln und begreifen. So macht man den Übergang von bestimmten Zahlen zu algebraischen Größen, zu ( a \cdot a = a^2, a \cdot a \cdot a = a^3.)

Ebenso kann man aus der Subtraktion die Division ableiten.

Wenn wir (b) wegnehmen von einer sehr großen Zahl a, dann bekommen wir den Rest (r_1.)

$$r_1 = a - b$$

Nehmen wir nochmals 5 weg, so erhalten wir den Rest

$$r_2 = a - b - b = a - 2b$$

Ein drittes Mal 5 weggenommen, ergibt

$$r_3 = a - b - b - b = a -3b$$

und so weiter.

Wir können dies so lange machen, bis von der Zahl (a) kein Rest mehr übrig bleibt, können es (n)- mal machen:

$$r_n = a - b - b - b - b ... n = a - nb$$

Wenn dann kein Rest mehr bleibt, das heißt, der letzte Rest gleich (0) ist, so ist

$$0 = a - nb.$$

Dann ist a ganz aufgeteilt, weil ja kein Rest bleibt, (a = nb). Ich habe (n)-mal das (b) weggenommen, habe das (a) in lauter (b) aufgeteilt, (\frac{a}{b} = n,) da ist eben das a ganz aufgezehrt. Ich habe gefunden, daß ich das n-mal machen kann und bin damit übergegangen von der Subtraktion zur Division.

Man kann somit sagen: Es ist die Multiplikation ein besonderer Fall der Addition, die Division ein besonderer Fall der Subtraktion, nur daß man eben nicht nur einmal, sondern wiederholt hinzufügt, beziehungsweise wegnimmt.

Es kommt die Rede auf negative und imaginäre Zahlen.

Rudolf Steiner: Eine negative Zahl ist ein Subtrahend, zu dem kein Minuend mehr da ist; eine Aufforderung zu einer Operation, zu der kein Stoff mehr da ist, die nicht ausgeführt werden kann. - Eugen Dühring wies die imaginären Zahlen als Unsinn zurück und sagte von der Gaußschen Definition des Imaginären, sie sei eine Eselei, keine Realität, ein ausspintisiertes Zeug.

Also man entwickelt immer das Multiplizieren aus der Addition, und dann das Potenzieren aus der Multiplikation. Und weiter das Dividieren aus der Subtraktion, das Radizieren aus der Division.

addieren subtrahieren
multiplizieren dividieren
potenzieren radizieren

Erst nach Beginn der Buchstabenrechnung, vom elften bis zwölften Jahre ab, geht man zum Potenzieren und Radizieren über, weil beim Radizieren das Potenzieren eines algebraischen Polynoms eine Rolle spielt.

In diesem Zusammenhang ist weiter durchzunehmen: Brutto-, Netto-, Tara-, Emballagerechnung.

Es wird eine Frage gestellt, die Benützung von Formeln betreffend.

Rudolf Steiner: Nun handelt es sich aber darum, ob Sie lieber sehr häufig die Formel nicht benützen, sondern immer wieder den Gedankengang machen wollen — wobei Sie ja allerdings Sprachkultur treiben können, das ist ja richtig -, oder aber, ob Sie nicht doch zur Formel übergehen wollen. Wenn Sie es taktvoll machen, daß die Formel gut verstanden wird, ist das auch recht nützlich, um bis zu einem gewissen Grade Sprachkultur daran zu üben.

Aber von einem gewissen Zeitpunkt an ist es auch gut, die Formel zu etwas Gefühltem beim Kinde zu machen. Die Formel zu etwas zu machen, was inneres Leben hat, so daß zum Beispiel wenn bei

$$Z = \frac{K \cdot P \cdot T}{100}$$

das (T) größer wird, das Kind ein Gefühl von dem Anwachsen des Ganzen dabei bekommt.

Damit würde also gesagt worden sein, was ich an dieser Stelle sagen wollte, daß man die konkreten Zahlen benützen sollte bei einer solchen Gelegenheit wie bei der Zins- und Prozentrechnung, um den Übergang zur Buchstabenrechnung zu finden, und um daran Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren, Radizieren zu entwickeln. Das sind ja Dinge, die durchaus mit den Kindern schon gemacht werden müssen.

Nun möchte ich die Frage aufwerfen: Halten Sie es für gut, das Potenzieren und das Wurzelziehen, das Radizieren, schon zu behandeln, bevor Sie Buchstabenrechnung gemacht haben, oder würden Sie es nachher machen?

T.: Potenzieren vorher, Radizieren nachher.

Rudolf Steiner: Also Sie gehen doch aus und sollten auch in Zukunft davon ausgehen, daß Sie möglichst bald, vom elften, zwölften Jahre ab, mit der Buchstabenrechnung beginnen und dann erst zum Potenzieren, Radizieren übergehen. Denn nach der Buchstabenrechnung läßt sich auf sehr einfache und ökonomische Weise quadrieren, kubieren, potenzieren und wurzelziehen mit den Kindern, während man vorher furchtbar viel Zeit darauf verwendet. Sie werden leicht und ökonomisch unterrichten, wenn Sie zuerst die Buchstabenrechnung mit den Kindern besprochen haben.

E. gibt eine geschichtliche Ausarbeitung für Schüler der letzten Klasse über Städtegründung und -entwicklung und spricht für die Zeit der Magyareneinfälle von «Deutschland».

Rudolf Steiner: Ich würde da doch recht achtgeben, daß nicht unbewußt verwurstelte Vorstellungen entstehen. Es gab natürlich damals, zur Zeit Heinrichs, des sogenannten Städtebauers, kein Deutschland. Man muß sich etwa so ausdrücken: Städte am Rhein oder an der Donau, an den Orten, die später deutsch geworden sind. Nicht wahr, vor dem 10. Jahrhundert hat man es ja auch nicht mit Magyaren zu tun; vorher hat man es bei solchen Einfällen mit Hunnen, Avaren zu tun. Vom 10. Jahrhundert an kann man dann schon sagen «Deutschland».

Sehen Sie, ich würde da zum Beispiel - das ist ja eine Aufgabe, die man vornimmt bei den Schülern der letzten Volksschulklassen — den Kindern einen Begriff der Chronologie beizubringen versuchen. Wenn man so sagt «9., 10. Jahrhundert», da wird die Vorstellung zu wenig konkret. Wie würden Sie das machen, daß eine konkrete Vorstellung von der Zeit bei den Kindern ersteht?

Da könnten Sie dem Kinde klarmachen: «Wenn du jetzt so alt bist, wie alt sind deine Mutter, dein Vater? Dann, wie alt sind Großvater und Großmutter?» — Da bringen Sie die ganze Generationenfolge heraus und können dem Kinde klarmachen, daß eine solche von drei Generationen etwa hundert Jahre ausmacht. Also in hundert Jahren wären es drei Generationen. Vor hundert Jahren waren also die Urgroßeltern Kinder. Vor neun Jahrhunderten waren es nicht drei, sondern 9:3 = 27 Generationen. — «Nimm einmal an», sagt man zum Kinde, «du hältst die Hand deines Vaters, der hält die Hand deines Großvaters, der die Hand deines Urgroßvaters und so fort. Wenn sie nun so nebeneinander stünden, der wievielte Mann wäre Heinrich I., der wievielte Mann würde dann den Magyaren etwa um das Jahr 926 gegenüberstehen? Der siebenundzwanzigste Mensch würde das sein.» - Das würde ich dann recht anschaulich darstellen. Nachdem ich so die Kinder konkret zu der Vorstellung gebracht habe, wie lange das her ist, dann würde ich ihnen schildern die Magyarenzüge. Würde ihnen klarmachen, wie die Magyaren damals Mitteleuropa überfielen. Wie die Magyaren hereinbrachen mit einer Wildheit, so daß alles flüchten mußte bis auf die kleinen Kinder in den Wiegen, die man auf die Gipfel der Berge tragen mußte. Wie dann die hereinbrechenden Magyaren Dörfer und Wälder verbrannten. Recht anschaulich würde ich den Magyarensturm schildern.

E. schildert weiter, wie Heinrich aus der Erkenntnis heraus, daß er in dem befestigten Goslar den Magyaren habe widerstehen können, den Entschluß zur Grün dung befestigter Städte gefaßt habe, und daß es auf diese Weise zu zahlreichen Städtegründungen gekommen sei.

Rudolf Steiner: Könnten Sie diese Darstellung nicht noch einmal kulturhistorisch bringen? Denn das ist etwas monarchisch auffrisierte Geschichtslegende, daß Heinrich diese Städte gegründet habe. Alle diese Städte des 10. Jahrhunderts waren ja in ihrer Grundanlage, in den Märkten, schon da. Sie wurden nur in ihrem Ausbau dadurch gefördert, daß Leute, die in der Nachbarschaft dieser Städte wohnten, sich anschlossen, um eine leichtere Verteidigungsmöglichkeit zu gewinnen gegen die anstürmenden Magyaren, und so diese Orte stärkten. Es waren mehr wirtschaftliche Gründe, die da wirkten und die zur Städtebildung führten. Heinrich hat nicht gar viel dazu getan.

Ich würde Sie nur bitten, recht anschaulich das alles zu bringen, recht lebendig zu verfahren, damit die Kinder innerlich anschauliche Bilder bekommen, so daß die Kinder förmlich alles greifen können. Sie müssen die Phantasie in Anspruch nehmen und solche Dinge benützen, wie ich sie Ihnen gezeigt habe bei dem Konkretmachen der Zeit. Man hat tatsächlich nichts davon, zu wissen, in welchem Jahre zum Beispiel die Schlacht bei Zama gewesen ist und so weiter, aber wenn man sich vorstellt, wenn man weiß, daß Karl der Große zum dreißigsten Vorfahren hinaufreicht, wenn man sich durch die Generationen hindurch die Hände reichen würde, dann erhält man dadurch eine anschauliche, konkrete Vorstellung von der Zeit. Da rückt diese Zeit viel näher — ja freilich, sie rückt viel näher! -, wenn man weiß, daß Karl der Große bis zum dreißigsten Vorfahren hinauf zu finden ist.

T.: Wäre es nicht gut, bei solchen Kulturbeschreibungen auch auf das ganz andere Denken und Fühlen der Menschen in diesen Perioden hinzuweisen?

Rudolf Steiner: Ja, darauf habe ich ja immer in meinen Vorträgen und auch sonst hingewiesen. Vor allem auch, daß Sie namentlich den großen Umschwung um das 15. Jahrhundert, das ganz andere Empfinden, Fühlen und Denken der Menschen vor und nach dieser Zeit recht anschaulich machen. Zum Beispiel auch schon Lamprecht, den ich aber damit nicht besonders empfehlen will, ist bemüht, ein ganz anderes Denken, Empfinden und Fühlen der Menschen vor dieser Zeitperiode zu konstatieren. -— Die Dokumente sind daraufhin noch gar nicht benützt worden.

Wenn Sie sich ein bißchen hineinfinden wollen in die kulturgeschichtliche Betrachtung, so müssen Sie vor allem entwickeln können einen gewissen Spürsinn, und wenn Sie diesen haben für Weiteres und Engeres, was die Autoren erzählen, für Spießigeres und etwas Weitherzigeres, dann können Sie richtigere Vorstellungen gewinnen für Kulturgeschichtliches.

Rudolf Steiner empfiehlt auf eine Anfrage hin zur Anschaffung für die Lehrerbibliothek:

Buckle, Geschichte der Zivilisation in England.

Lecky, Geschichte der Aufklärung in Europa.

An diesen kann man die Methode schulen für die kulturgeschichtlichen Betrachtungen. Von Lamprecht kämen in Frage die älteren Teile, aber es ist vieles schief und subjektiv.

Wenn Sie sich diesen Instinkt für die wirklichen treibenden kulturgeschichtlichen Kräfte nicht angeeignet haben, dann werden Sie Gefahr laufen, mit wahrhaft Wildenbruchscher Blödigkeit, mit Wildenbruchscher Dilettantenhaftigkeit zum Beispiel die Kaiser- und Königsdramen und solche Familienkatzbalgereien wie zwischen Ludwig dem Frommen und seinen Söhnen für wesentliche kulturgeschichtliche Ereignisse zu halten.

Gustav Freytags «Bilder aus der deutschen Vergangenheit» sind ganz gut, aber man darf sich nicht zu sehr beschmieren lassen von dieser Gemütlichkeit einer für Tanten geschriebenen Geschichtsbetrachtung. Wir müssen gerade heute herauskommen aus dem Denk- und Empfindungsstil, der so bei diesen Leuten der Grenzbotenliteratur der Mitte des 19. Jahrhunderts da war, bei Gustav Freytag, Julian Schmidt und so weiter. Lassalle nannte ihn «Schmulian Jüd»; bei Lassalle klang das nicht antisemitisch.

Es wird gefragt, nach Houston Stewart Chamberlains «Grundlagen des 19. Jahrhunderts».

Rudolf Steiner: Auch bei Chamberlain muß man erst recht einen guten Instinkt entwickeln, denn ein Viertel bei ihm ist geistreich, und drei Viertel ist wüstes, ungesundes Zeug. Es steht sehr viel sehr Gutes bei ihm, aber man muß alles selber übersehen und selber ein Urteil entwickeln. Die kulturgeschichtlichen Schilderungen sind besser bei Buckle und Lecky. Chamberlain ist mehr so ein Smokingträger. Er ist doch ein etwas eitler Herr, der nicht gerade als Autorität zu gelten hat, der aber doch manches richtig bemerkt hat. Es ist ja auch sein Ende kein schönes gewesen, ich meine den Prozeß mit der «Frankfurter Zeitung».

Es werden Kautskys Schriften erwähnt.

Rudolf Steiner: Ja, wenn man in der Regel das Gegenteil von dem annimmt, das er da zeigt. Man bekommt von modernen Sozialisten ein gutes und interessantes Taatsachenmaterial, wenn man sich nicht betäuben läßt von den Theorien, die ihre Schilderungen durchziehen.

Ein eigentümliches Bild bietet auch Mehring, wie er erst in seinem Buch, in seiner Geschichte der Sozialdemokratie, auf die Sozialdemokraten schimpft, so lange er Freisinniger war; dann nachher, als er zu den Sozialdemokraten übergetreten war, ändert er das nur um auf die Freisinnigen.

M. gibt eine Einführung in die Grundbegriffe der mathematischen Geographie für Schüler im dreizehnten Jahr, Beobachtungen am Sonnenaufgang und an der Sonnenbahn.

Rudolf Steiner: Sie können, wenn Sie die Kinder hinausbestellt haben, das später sehr gut in die Zeichnung verwandeln lassen und darauf sehen, daß ein gewisser Parallelismus besteht zwischen der Zeichnung und dem, was die Kinder draußen angesehen haben. Es ist nur ratsam, nicht zuviel auf einmal von diesem Linienhaften zu geben. Es ist sehr wichtig, daß man diese Dinge den Kindern beibringt, aber wenn man zuviel zusammenfaßt, dann bringt man es so weit, daß die Kinder es nicht mehr auffassen. Man kann es einfügen in Geographie und Geometrie. Der ungefähre Abschluß solcher Ausführungen würde sein, daß man den Begriff der Ekliptik und der Koordinaten entwickelt. A, führt das gleiche Thema, Sonnenaufgang und Sonnenuntergang, für kleinere Kinder aus und versucht, den Gang der Sonne und der Planeten durch eine schematische Zeichnung klarzumachen.

Rudolf Steiner: Nun, es wird diese Auffassung immer mehr an Bedeutung abnehmen, weil das seither Angenommene über diese Bewegungen nicht ganz richtig ist. In Wirklichkeit hat man es zu tun mit einer solchen Bewegung (Rudolf Steiner zeichnet an die Tafel):

Da ist zum Beispiel (1. Stellung) einmal hier die Sonne; da ist Saturn, Jupiter, Mars, und da ist Venus, Merkur, Erde. Nun bewegen sich die alle in der angegebenen Richtung (Schraubenlinie) so hintereinander fort, daß, wenn die Sonne dann da herübergekommen ist (2. Stellung), so ist Saturn, Jupiter, Mars hier, Venus, Merkur und die Erde da. Und jetzt dreht sich die Sonne weiter und geht dahin (3. Stellung). Dadurch wird der Schein hervorgerufen, als wenn sich die Erde um die Sonne drehte. In Wahrheit geht die Sonne voran, und die Erde kriecht immer nach.

B. gibt eine Darstellung aus der altägyptischen Kultur.

Rudolf Steiner: Vor allem müßte man dazu übergehen, das vorzubringen, was das ganz andere Prinzip der Nachbildung ist. Es besteht bei den alten Ägyptern der Mangel, daß sie unperspektivisch sehen. Es malt der alte Ägypter das Gesicht im Profil und den übrigen Körper en face. Diese Eigentümlichkeit der Auffassung müßte man den Kindern schon beibringen.

Dann müßte man herstellen den Zusammenhang des ägyptischen Zeichnens und Malens mit dem naturgeschichtlichen Prinzip, das sie hatten, daß sie die Menschen mit Tierköpfen machten und so weiter. Schon in alten Zeiten ist die Vergleichung des Menschen mit den Tieren sehr weit getrieben worden. Man könnte dann dem Kinde dasjenige beibringen, was veranlagt ist in jedem menschlichen Kopf und was zum Teil das Kind heute noch sieht. Die Ägypter haben noch diese Verwandtschaft der Menschenphysiognomie mit den Tieren wahrgenommen. Sie waren noch auf dieser kindlichen Stufe der Anschauung.

B. fragt bei der Besprechung der Pyramiden, was man eigentlich den Kindern darüber sagen solle.

Rudolf Steiner: Es ist natürlich außerordentlich wichtig, allmählich zu versuchen, auch für die Kinder das Richtige an die Stelle des Falschen zu setzen. Tatsächlich waren die Pyramiden ja Einweihungsstätten. Und da kommt man ja nun dahin, daß man den Kindern den Begriff des höheren ägyptischen Unterrichts, der zu gleicher Zeit eine Einweihung war, beibringt. Man muß etwas erzählen davon, was da vorgegangen ist. Es sind da religiöse Handlungen ausgeführt worden, wie sie heute in den Kirchen ausgeführt werden, die aber zugleich dazu führten, daß das Weltall erkannt werden konnte. Der alte Ägypter hat eben so gelernt, daß ihm vorgezeigt worden ist in feierlichen Handlungen, was sich im Weltall und in der Menschheitsentwickelung vollzieht. Es war religiöse Übung und Unterricht eines. Es war so, daß Unterricht und religiöse Handlung eigentlich zusammenfielen.

B. beschreibt die Arbeit an den Pyramiden und Obelisken und sagt, daß man annehmen müsse, daß zum Herbeischaffen, Bearbeiten und Einbauen der riesigen Blöcke mehrere Millionen Menschen benötigt sein müßten. Man müsse sich fragen, wie es überhaupt möglich gewesen sei, mit den damaligen technischen Hilfsmitteln die großen, schweren Kalk- und Granitblöcke zu bewegen und aufzuschichten.

Rudolf Steiner: Ja, aber ganz richtige Vorstellungen werden Sie bei den Kindern nur hervorrufen, wenn Sie ihnen sagen, daß, wenn die Menschen mit der heutigen Körperkraft arbeiten würden, man zweieinhalbmal soviel Menschen brauchen würde. Aber in Wahrheit haben die Ägypter ja zweieinhalbmal soviel Körperkräfte gehabt wie unsere heutigen Menschen, wenigstens die, die an den Pyramiden und so weiter gearbeitet haben. Es gab natürlich auch schwächere Menschen.

B. fragt, ob auch auf die Mythologie einzugehen wäre.

Rudolf Steiner: Nicht wahr, wenn man die ägyptische Mythologie nicht in ihrer wahren Gestalt darstellen kann, so muß man sie eben weglassen. Kann man aber die ägyptische Mythologie in der wahren Gestalt darstellen, dann soll man es tun. In der Waldorfschule wird es ganz gut sein, die richtigen Begriffe von der ägyptischen Mythologie, die Sie ja ganz gut kennen, schon den Kindern beizubringen, wenn man überhaupt darauf eingehen will.

K. macht Ausführungen über die Erarbeitung der Begriffe: Geometrischer Ort, Kreis, Ellipse, Hyperbel, Lemniskate. (Das soll am nächsten Tage noch fortgesetzt werden.)