Discussions with Teachers

GA 295 — 4 September 1919, Stuttgart

Dreizehnte Seminarbesprechung

Sprechübungen:

Klipp plapp plick glick
Klingt Klapperrichtig
Knatternd trappend
Rossegetrippel

Rudolf Steiner: Auswendig üben!

Aus «Wir fanden einen Pfad» von Christian Morgenstern:

Wer vom Ziel nicht weiß,
Kann den Weg nicht haben,
Wird im selben Kreis
All sein Leben traben;
Kommt am Ende hin,
Wo er hergerückt,
Hat der Menge Sinn
Nur noch mehr zerstückt. Wer vom Ziel nichts kennt,
Kann’s doch heut erfahren;
Wenn es ihn nur brennt
Nach dem Göttlich-Wahren;
Wenn in Eitelkeit
Er nicht ganz versunken
Und vom Wein der Zeit
Nicht bis oben trunken. Denn zu fragen ist
Nach den stillen Dingen,
Und zu wagen ist,
Will man Licht erringen;
Wer nicht suchen kann,
Wie nur je ein Freier,
Bleibt im Trugesbann
Siebenfacher Schleier.

T. versucht, den Begriff der Fläche für neunjährige Kinder anschaulich zu gestalten. (Quadrate zum Messen von anderen, größeren quadratischen Flächen ausschneiden lassen, Schablonieren.)

Rudolf Steiner: Es ist gut begreiflich zu machen, daß dann, wenn man 3 Meter als Länge einer Quadratseite hat, die Fläche 9 Quadratmeter ist, aber damit bleiben wir immer in der Sphäre, welche aus solchen anschaulichen Stücken etwas zusammensetzt, und es wird trotzdem sehr schwierig sein, da eine richtige Vorstellung der Fläche hervorzurufen.

Gemeint habe ich: Wie geht man richtig vor, und in welches Lebensalter kann solch ein Vorgehen fallen, um tatsächlich herauszubekommen, daß die Fläche Fläche ist und Fläche wird, wenn man die Länge mit der Breite multipliziert? Wie kommt man dazu, diesen Begriff der Fläche beim Kinde hervorzurufen? — Das hängt davon ab, wo man hineinfallen läßt diesen Unterricht über die Flächen. Da muß gesagt werden: Es ist nicht gut, den Unterricht über die Flächen dorthin fallen zu lassen, wo man die Buchstabenrechnung noch nicht durchgenommen hat. Wir können den Unterricht über die Fläche rationell erst vornehmen, wenn wir schon vorgenommen haben die Buchstabenrechnung. So ist die Antwort: Wir warten mit dem Flächenunterricht, bis wir die Buchstabenrechnung vorgenommen haben.

Und nun weiter die Frage: Wie bringen Sie es dahin, daß Sie mit den Kindern übergehen von der gewöhnlichen Zifferrechnung zur Buchstabenrechnung? Ich will Sie darauf leiten, und dann führen Sie es weiter aus. Sie müssen, ehe Sie zur Buchstabenrechnung übergehen, doch schon mit den Kindern durchgemacht haben die Zinsrechnungen: Zinsen sind gleich Kapital mal Prozent, mal Zeit, dividiert durch 100

$$Zinsen = \frac{Kapital \cdot Prozent \cdot Zeit}{100}$$

Kürzt man auf die Anfangsbuchstaben ab, so kann man schreiben:

$$Z = \frac{K \cdot P \cdot T}{100}$$

(T) = tempus, lateinisch = Zeit, ist die gebräuchlichste Abkürzung für Zeit.

Sie gehen, indem Sie zu dieser Formel kommen, von gewöhnlichen Zahlen aus, und das Kind begreift verhältnismäßig leicht, was das Kapital ist, welches die Prozente sind, welches die Zeit ist und so weiter.

Also diesen Vorgang werden Sie dem Kinde klarzumachen versuchen und sich überzeugen, daß die Kinder in ihrer Mehrheit die Sache begriffen haben. Und von da würden Sie zur obigen Form übergehen und immer darauf sehen, daß Regel hineinkommt.

(K) ist = Kapital; (P) ist = Prozent; (T) ist = Zeit (Tempus); (Z) ist = Zinsen. Dann ist das oben Angegebene eine Formel, die ich mir bloß als Grundformel merke. Dadurch habe ich schon den ersten Schritt gemacht vom Übergang zur Buchstabenrechnung. Wenn das Kind nun diese Formel hat, so braucht es nur die Zahl einzusetzen in diese Formel, und es muß immer das Richtige herauskommen. Haben Sie die dann daraus abgeleitete Formel:

$$K = \frac{Z \cdot 100}{T \cdot P}$$

so können Sie sich mnemotechnisch merken, daß Sie die drei Buchstaben (K), (P), (T) beliebig miteinander vertauschen können, so daß sich noch folgende Möglichkeiten ergeben:

$$T = \frac{Z \cdot 100}{T \cdot P} \qquad P = \frac{Z \cdot 100}{K \cdot T}$$

Auf diese Weise haben wir dem Kinde Kapitalrechnung beigebracht, und jetzt können wir übergehen zum Buchstabenrechnen. Sie können ruhig sagen: «Wir haben gelernt, eine Summe 25 war gleich 8 mehr 7 mehr 5 mehr 5, (25 = 8 + 7 + 5 + 5).» Nicht wahr, das hat das Kind einmal begriffen. Jetzt, nachdem Sie ihm das auseinandergesetzt haben, können Sie ihm sagen: «Da (statt 25) kann aber auch eine andere Summe stehen, und da (statt 8, 7, 5, 5) können andere Zahlen stehen, so daß wir auch sagen können, da stünde «irgendeine» Zahl. Also stünde da zum Beispiel: (S), eine Summe. Und da stünde: (a + b +c + c). Aber, wenn da (c) stünde anstelle der ersten 5, so muß es auch anstelle der zweiten 5 stehen. Gerade so, wie ich anstelle von beliebigem Kapital K einsetze, setze ich an dieser Stelle den Buchstaben c ein.»

Nachdem Sie in einem konkreten Fall den Übergang von der Zahl zum Buchstaben gezeigt haben, dann können Sie nun auch den Begriff des Multiplizierens entwickeln, und aus diesem konkreten (9 \cdot 9) können Sie entwickeln (a \cdot a). Oder Sie können aus (a \cdot 2) entwickeln (a \cdot b) und so weiter. Also das würde der Weg sein, aus diesen Zahlenrechnungen überzugehen zur Buchstabenrechnung. Und aus dieser zur Flächenberechnung, (a \cdot a = a^2.)

Aufgabe für morgen: Zinsenrechnung, recht geistreich einleuchtend entwickeln für Kinder im elften, zwölften Jahr mit dem, was dazugehört, mit der Umkehrung: Prozent-, Zeit-, Kapitalrechnung. — Dann von da aus entwickeln, wie man beleuchtet Diskontrechnung. Dann wie man dem Kinde beibringt Rabatt- und Emballagerechnung, und wie man ihm beibringt den Begriff und die Berechnung eines Wechsels. Das gehört hinein in das zwölfte und dreizehnte Jahr, so daß es für das ganze Leben bleibt; sonst wird es später immer wieder vergessen. Man kann es ja in einfacher Weise nehmen, aber da hinein gehört es. Wenn jemand dieses ordentlich kann, dann kann er die Methodik des ganzen Rechnens. Zinseszinsrechnung gehört nicht in diese Jahre hinein.

Also organisch übergehen in die Buchstabenrechnung bis zum Multiplizieren und von da in die Flächenberechnung.

Nun würde ich bitten, daß wir auf die anderen Fragen von gestern eingehen. Denn auch da ist wichtig, daß Sie die Kinder durch Rechnungstellen zur Geistesgegenwart anregen.

G. schlägt die Errichtung eines kleinen Verkaufsstandes vor mit Früchten, Gemüse, Kartoffeln und so weiter, wobei die Kinder selbständig einkaufen, verkaufen, bezahlen, Geld herausgeben, überhaupt selbständig alles berechnen müssen.

Rudolf Steiner: Dieses Kaufmannsprinzip ist ganz gut für die zweite Klasse. Und es ist gut, darauf zu bestehen, daß derjenige, dem man eine Rechnung gegeben hat, sie auch wirklich selbst löst, und daß man keinen anderen für ihn eintreten läßt. Immer das Interesse aller wachhalten!

Es wird über das Kopfrechnen gesprochen; über das Rechnen, ohne zu schreiben.

Rudolf Steiner erzählt, daß Gauß als sechsjähriger Knabe einmal zu folgender Lösung gekommen sei: Gestellt war die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Gauß überlegte sich, daß es vorteilhafter und einfacher sei, um schnell zu dem Resultat zu kommen, die gleichen Zahlen nochmals zu nehmen, sie aber so zu der ersten Reihe von 1 bis 100 anzuordnen, daß man sich die erste Reihe wie gewöhnlich von links nach recht geschrieben 1, 2, 3, 4,5... 100 vorstellen könne, darunter aber dann in umgekehrter Anordnung die zweite Reihe 100, 99,98, 97,96... 1, so daß zu stehen kommen unter die 1 die 100, unter die 2 die 99, unter die 3 die 98. Dann ergäben jedesmal die beiden untereinanderstehenden Zahlen addiert die Summe 101. Die Summe müsse hundertmal genommen werden, ergibt 10100, und müsse dann nur noch — weil man darin ja zweimal die Zahlen von 1 bis 100 addiert hat, einmal vorwärts, einmal rückwärts - halbiert werden, ergibt 5050. So löste Gauß zum nicht geringen Erstaunen seines Lehrers damals im Kopf diese gestellte Aufgabe.

T. führt unter anderen zwei Arten von Aufgaben an: 1. Zeit- und Streckenberechnung, wenn Lokomotiven mit verschieden großem Radumfang gegeben sind; 2. Aufgaben mit Voll- und Auslaufenlassen von Gefäßen mit verschieden weiter Ausflußröhre.

Rudolf Steiner: Beim Ausdenken von Rechenaufgaben kann man Phantasie verwenden. Man kann Geistesgegenwart erzeugen durch Bewegungsaufgaben. Sie können mit dem gestrigen Beispiel zur Praxis übergehen, wenn Sie sagen: Ich habe einen Eilboten fortgeschickt mit einem Botenbrief. Der Brief ist gegenstandslos geworden. Ich muß einen anderen Boten fortschicken. Wie schnell muß der weiterkommen, um noch vorher anzukommen, ehe der Brief sein Unheil angerichtet hat? Wenigstens annähernd soll das Kind das berechnen können, das ist ganz gut.

Ein Teilnehmer weist auf Fehlerrechnungen hin.

Rudolf Steiner: Solche Fehlerrechnungen sind überhaupt sehr üblich. Es ist üblich, daß man gleich die Fehler miteinrechnet. Nun, in einem Punkte wird heute eine solche Fehlerrechnung gemacht und wird einmal korrigiert werden müssen. Als Kopernikus sein «Kopernikanisches System» aufgestellt hat, stellte er drei Lehrsätze auf. Würde man alle drei benützen, um den Weg der Erde durch den Weltenraum zu skizzieren, so würde man eine ganz andere Bewegung bekommen, als sie jetzt von unseren Astronomen angenommen und auf unseren Schulen gelehrt wird. Diese elliptische Bewegung wird nur dadurch möglich, daß man den dritten Lehrsatz unberücksichtigt läßt. Wenn der Astronom sein Fernrohr hinausrichtet, so stimmen die Dinge nicht. Zu diesem Zweck setzt man auch Fehler in Rechnung; durch die Besselschen Gleichungen werden jedes Jahr Fehler eingesetzt für das, was in der Wirklichkeit nicht stimmt. Die Besselschen Fehlergleichungen, in denen steckt der dritte Satz des Kopernikus.

Methodisch muß man so verfahren, daß man das Kind nicht bloß beschäftigt mit ausgedachten Beispielen, sondern daß man zu praktischen Beispielen aus dem Leben kommt. Man muß alles ins Praktische auslaufen lassen. Dabei kann man immer durch Folgendes das Vorhergehende befruchten lassen und umgekehrt.

In was würden Sie alle diese Bewegungsberechnungen, das Auslaufen von Flüssigkeiten durch kleine Löcher langsam, durch große schnell, die Kreisbewegungsaufgaben an Maschinen mit verschieden großen Rädern - in was würden Sie das auslaufen lassen?

Sie würden am besten dazu übergehen, den Kindern die Uhr zu erklären in ihren verschiedenen Gestalten, als Pendeluhr, Taschenuhr und so weiter.

Aufgaben für morgen:

Erstens: ein geschichtliches Thema zu behandeln nach dem früher gegebenen Musterbeispiel, kulturgeschichtlich. Zweitens: Behandlung von irgend etwas aus der allgemeinen Natur, Auf- und Untergang der Sonne, Jahreszeiten oder dergleichen, das Ihnen naheliegt, etwas aus dem Weltgebäude. Es kommt darauf an, die Unterrichtsmethode geltend zu machen.

Drittens: Über die Prinzipien des Musikalischen im allerersten Schuljahr.

Viertens: Wie ist Poetisches zu gestalten im Englischen und Französischen? Wie ist den Kindern beizubringen das Empfinden des Poetischen in der englischen, der französischen Sprache?

Fünftens: Wie ist es möglich, dem Kinde beizubringen den Begriff der Ellipse, der Hyperbel, des Kreises, der Lemniskate und den Begriff des geometrischen Ortes? — Das alles ist den Kindern beizubringen, unmittelbar bevor sie die Schule verlassen.