Astronomy as Compared to Other Sciences

GA 323 — 9 January 1921, Stuttgart

Neunter Vortrag

Wir sind jetzt an einem Punkt unserer Betrachtungen angekommen, von dem aus wir gewissermaßen außerordentlich vorsichtig weiterschreiten müssen, damit wir klar sehen, inwieweit die Gefahr besteht, aus der Realität hinauszukommen mit den Vorstellungen, oder ob wir eben innerhalb realer Vorstellungen bleiben, das heißt der Gefahr entgehen.

Nun handelt es sich ja darum, daß wir das letzte Mal hingestellt haben gewissermaßen als ein Postulat, einfach die beiden Tatsachen zu vergleichen: Innerhalb des Planetensystems das Auftreten der kometarischen Erscheinungen und - schließlich ja auch innerhalb des Planetensystems, wenn es auch vielleicht nicht in demselben Zusammenhang damit steht - dasjenige, was wir beobachten in den Erscheinungen der Befruchtung. Um aber hier überhaupt zu Vorstellungen zu kommen, die in irgendeiner Weise berechtigt sind, muß man einmal sehen, ob es denn möglich ist, zwischen zwei Dingen, die uns so entfernt in der äußeren Tatsachenwelt entgegentreten, Beziehungen aufzusuchen. Und wir werden methodologisch zu keinem Ziel kommen, wenn wir nicht auf irgend etwas hinweisen können, wo etwas Ähnliches vorliegt, das uns dann in der Betrachtungsweise weiterleiten könnte.

Wir haben ja gesehen, wie wit auf der einen Seite das Figurale, das Formhafte, das Mathematische anwenden müssen, wie wir aber immer wiederum dazu gedrängt werden, das Qualitative in irgendeiner Weise zu fassen, dem Qualitativen irgendwie näherzukommen. Wir wollen deshalb heute etwas einfügen, was sich mit Bezug auf den Menschen ergibt, wenn man diesen Menschen betrachtet, der ja schließlich doch ein Abbild ist, wie wir aus allen einzelnen Dingen dieser Vorträge entnehmen können, ein Abbild der Himmelserscheinungen in irgendeiner Weise, die wir noch festzustellen haben. Da der Mensch das ist, so müssen wir irgendwie über den Menschen selbst erst uns Klarheit verschaffen. Wir müssen gewissermaßen das Bild verstehen, von dem wir ausgehen wollen, wir müssen die innere Perspektive verstehen. Wie man bei einem gemalten Bilde auch zunächst sich klar sein muß, was irgendeine Verkürzung oder so etwas bedeutet, um von dem Bilde auf die Raumverhältnisse überzugehen, um also das Bild auf seine Wirklichkeit zu beziehen, so müssen wir, wenn wir auf die Realität im Weltenall interpretierend vom Menschen aus eingehen wollen, zuerst über den Menschen uns klar sein. Nun ist es aber außerordentlich schwierig, dem Menschen, der man ja selber ist, mit irgendwelchen faßbaren Vorstellungen beizukommen. Daher möchte ich heute Ihnen aus sehr einfachen Verhältnissen, ich möchte sagen, faßbar-unfaßbare Vorstellungen vor die Seele führen, Vorstellungen, die wahrscheinlich die meisten von Ihnen längst gut kennen, aber die wir doch in einem gewissen Zusammenhang uns vor die Seele führen müssen, damit wir an diesen Vorstellungen, die zum Teil scheinbar recht gut zu fassen sind, zum Teil aber durchaus wiederum unfaßbar erscheinen in gewissen Grenzen, uns orientieren in bezug auf das Ergreifen überhaupt der Außenwelt durch die Vorstellungen.

Es könnte erzwungen erscheinen, daß hier immer wiederum betont wird, daß man, um die Himmelserscheinungen zu begreifen, auf das Vorstellungsleben des Menschen zurückgehen muß. Aber es ist doch klar, daß wir, wenn wir auch noch so vorsichtig Beschreibungen der Himmelserscheinungen geben, darin ja doch zunächst nichts anderes haben als eine Art optischer Bilder, durchtränkt von allerlei mathematischen Vorstellungen. Dasjenige gerade, was uns die Astronomie gibt, hat den Grundcharakter, ein bloßes Bild zu sein. Wir müssen daher eingehen auf die Entstehung des Bildes im Menschen, wenn wir zurechtkommen wollen, sonst werden wir gar keine richtige Stellung gewinnen können zu dem, was uns die Astronomie sagen kann. Und da möchte ich heute von etwas ganz einfachem Mathematischen ausgehen, um Ihnen zu zeigen, wie auf einem anderen Gebiet als dem, auf das wir geführt worden sind durch die Verhältniszahlen der Umlaufzeiten der Planeten, innerhalb der Mathematik selbst eine Art Unfaßbares auftritt. Das tritt uns entgegen, wenn wir gebräuchliche Kurven in einem gewissen Zusammenhang betrachten. Viele von Ihnen kennen die Sache schon, ich möchte nur von einem besonderen Gesichtspunkte aus sie heute beleuchten.

Wenn wir dasjenige betrachten, was Sie als Ellipse kennen mit ihren zwei Brennpunkten (A) und (B), so wissen Sie ja, daß die Ellipse dadurch charakterisiert ist, daß irgendein Punkt (M) der Ellipse so sich verhält, daß die Summe seiner Abstände (a + b) von den zwei Brennpunkten stets konstant bleibt. Das ist die Charakteristik der Ellipse, daß die Summe der Abstände irgendeines ihrer Punkte von zwei fixen Punkten, den zwei Brennpunkten, konstant bleibt (Fig. 1).

Dann haben wir eine zweite Kurve, die Hyperbel (Fig. 2). Sie wissen ja, sie hat zwei Äste. Sie ist dadurch charakterisiert, daß die Differenz (a-b) der Abstände irgendeines Punktes von den zwei Brennpunkten eine konstante Größe ist. Nun hätten wir also in der Ellipse die Kurve der konstanten Summe, in der Hyperbel die Kurve der konstanten Differenz, und wir werden uns nun fragen müssen: Welches ist die Kurve des konstanten Produktes?

Ich habe ja schon öfter darauf aufmerksam gemacht, diese Kurve des konstanten Produktes ist die sogenannte Cassinische Kurve (Fig. 3). Betrachten wir die Sache in der folgenden Weise: Wir haben hier zwei Punkte (A) und (B), und wir betrachten einen Punkt (M) in bezug auf seine Abstände von (A) und (B). Wir haben also den einen Abstand AM, den anderen Abstand (BM), und wir stellen die Forderung, daß diese beiden Abstände, miteinander multipliziert, gleich seien einer konstanten Größe. Ich will diese konstante Größe, weil das die Rechnung vereinfacht, (b^2) nennen, und den Abstand (AB) will ich (2a) nennen. Wenn wir die Mitte zwischen (A) und (B) als den Mittelpunkt eines Koordinatenachsen-Systems annehmen (O) und für jeden Punkt, der diese Bedingung erfüllt, die Ordinate berechnen - wenn wir also hier herumlaufen lassen den Punkt, so daß immer bei jedem Punkt dieser Kurve (AM \cdot BM = b^2) bleibt -, so bekommen wir für die Ordinate irgendeines Punktes, die wir y nennen, die folgende Gleichung - ich werde Ihnen nur die Resultate mitteilen, aus dem einfachen Grunde, weil ja die Ausrechnung jeder auf einfache Weise sich verschaffen kann. Sie ist in jedem mathematischen Lehrbuch, das diese Dinge enthält, zu finden. Wir bekommen für (y) den Wert:

$$ y = \pm \sqrt{- (a^2 + x^2) \pm \sqrt{b^4 + 4a^2x^2}} $$

Wenn man hier (vor der inneren Wurzel) berücksichtigt, daß wir ja das negative Vorzeichen nicht brauchen können zunächst, weil wir dadurch imaginäre y bekommen würden, also nur das positive Vorzeichen berücksichtigen, so bekommen wit:

$$ y = \pm \sqrt{- (a^2 + x^2) + \sqrt{b^4 + 4a^2x^2}} $$

Wenn wir dann die entsprechende Kurve ziehen, bekommen wir eine ellipsenähnliche, aber durchaus nicht mit der Ellipse zusammenfallende Linie, welche die Cassinische Kurve nach ihrem Entdecker genannt wird. Sie ist nach links und rechts symmetrisch zur Ordinatenachse, nach oben und unten symmetrisch zur Abszissenachse. Das ist, was festgehalten werden muß.

Nun aber hat diese Kurve verschiedene Formen, und das ist das Wichtige an ihr, für uns wenigstens. Diese Kurve hat verschiedene Formen, je nachdem (b), wie ich es hier angenommen habe, größer ist als (a), oder (b) gleich ist (a), oder (b) kleiner ist als (a). Die Kurve, die ich eben aufgezeichnet habe, entsteht dann, wenn (b > a ) und außerdem noch eine gewisse Bedingung erfüllt wird, nämlich diejenige, daß (b) auch größer oder gleich ist (a\sqrt{2}). Und zwar, wenn ( b \gt a\sqrt{2}), so haben wir hier oben und unten eine deutliche Krümmung. Wenn ( b = a\sqrt{2}), so geht an diesem Punkte oben und unten die Kurve in die Gerade über, es flacht sich die Kurve so ab, daß sie oben und unten fast eine Gerade ist (Fig. 4). Kommen wir aber dazu, daß ( b \lt a\sqrt{2}), dann ändert sich der ganze Verlauf der Kurve. Sie bekommt diese Form (Fig. 5). Und ist nun (b = a), dann geht die Kurve in eine ganz spezielle Form über, in diese Form (Fig. 6). Sie läuft gewissermaßen in sich zurück, durchschneidet sich selber und findet sich wiederum, und wir bekommen die spezielle Form der Lemniskate, so daß also die Lemniskate eine besondere Form der Cassinischen Kurve ist. Die besondere Form wird hervorgerufen durch das Verhältnis der in der Gleichung der Kurve, der Charakteristik der Kurve vorkommenden konstanten Größen. Wir haben in der Gleichung nur diese zwei konstanten Größen (b) und (a), und von dem Verhältnis dieser zwei konstanten Größen hängt die Form der Kurve (ab).

Nun ist aber noch der dritte Fall möglich, daß (b \lt a). Wenn (b \lt a), so bekommt man auch Werte für die Kurve. Man kann immer die Gleichung auflösen und bekommt Werte für die Kurve, Ordinaten und Abszissen, auch wenn man (b) kleiner hat als (a), nut setzt gewissermaßen die Kurve ihr eigentümliches Verhalten fort. Denn dann, wenn (b \lt a), bekommen wir zwei Äste der Kurve, die ungefähr so aussehen (Fig. 7). Wir bekommen eine diskontinuierliche Kurve. Hier stehen wir eben an dem Punkte, wo gewissermaßen in der Mathematik uns entgegenspringt das Faßbar-Unfaßbare, das heißt, das im Raum schwer zu Fassende. Denn das sind im Sinne ihrer mathematischen Gleichung nicht zwei Kurven, das ist eine Kurve, genau ebenso eine Kurve, wie diese oder diese oder diese (Fig. 3-5). Bei dieser da (Lemniskate) liegt die Sache schon im Übergang. Da macht der Punkt, den die Kurve beschreibt, diesen Weg, geht hier herunter, durchschneidet hier seinen früheren Weg und findet sich wiederum. Hier (Fig. 7) müssen wir uns vorstellen: Wenn wir den Punkt (M) bewegen lassen in dieser Linie - er durchläuft nicht etwa die Bahn einfach hier herüber, das tut er nicht, sondern er durchläuft geradeso wie hier (Lemniskate) den Weg, beschreibt hier eine Kurve und kommt dann wiederum dazu, sich hier zu finden.

Also Sie sehen: Dasjenige, was den Punkt durch die Linien trägt, das verschwindet hier in der Mitte. Sie können sich nur vorstellen, daß das in der Mitte verschwindet, wenn Sie die Kurve verstehen wollen. Wenn Sie hier versuchen, eine Vorstellung sich zu bilden, die im Vorstellen rein kontinuierlich bleibt, was müssen Sie denn da tun? Nicht wahr, wenn Sie sich eine solche Kurve (die ersten drei Formen) vorstellen — das sage ich nur in Parenthese für gewöhnliche Philister -, dann ist das leicht. Sie können immerfort einen Punkt vorstellen und Sie kommen nicht dazu, daß Ihre Vorstellung abreißt. Hier (bei der Lemniskate) müssen Sie ja allerdings schon die bequeme Art, einfach herumzugehen, modifizieren. Da geht es aber noch immer. Sie können das Vorstellen festhalten. Aber jetzt weiter, wenn Sie bei dieser Kurve (Form mit zwei Ästen), die eben nicht eine Philisterkurve ist, ankommen, wenn Sie die votstellen wollen, dann müssen Sie, um im kontinuierlichen Vorstellen zu bleiben, sich sagen: Der Raum gibt mir dazu keinen Anhaltspunkt mehr. Ich muß, indem ich hier (von 1 nach 2) vorschreite mit meinem Vorstellen, wenn ich nicht das Vorstellen abreißen und den anderen Ast isoliert für sich betrachten will, ich muß mit meinem Vorstellen aus dem Raum heraus (nach 3 bis 4), ich kann nicht drinnen bleiben im Raum. Also Sie sehen, die Mathematik selber liefert uns Tatsachen, die es für uns notwendig machen, aus dem Raum herauszugehen, wenn wir im kontinuierlichen Vorstellen bleiben wollen. Die Wirklichkeit, sie ist so, daß sie an uns den Anspruch stellt, aus dem Raum herauszugehen mit unserem Vorstellen. Da also tritt uns etwas innerhalb der Mathematik selber auf, wo gewissermaßen sich zeigt, daß wir den Raum verlassen müssen, wenn wir einfach mit dem Vorstellen zurechtkommen wollen. In dem, was wir selber mit dem Vorstellen angerichtet haben, indem wir angefangen haben zu denken, müssen wir in einer solchen Weise weiter denken, daß uns der Raum nichts mehr hilft. Sonst würde nicht allen Möglichkeiten in der Gleichung Rechnung getragen werden.

Nun, solche Dinge treffen wir, wenn wir ein ähnliches Vorstellen durchmachen, mehrere. Ich will nur noch auf das Allernächstliegende aufmerksam machen, das dann für Ste sich realisiert, wenn Sie nun die Frage aufwerfen: Also, die Ellipse ist der geometrische Ort der konstanten Summe, sie ist dadurch charakterisiert, daß sie die Linie der konstanten Summe ist. Die Hyperbel ist die Kurve der konstanten Differenz. Die Cassinische Kurve mit ihren verschiedenen Formen ist die Linie des konstanten Produkts. Es muß also auch irgendwie, wenn wir hier (A), hier (B) haben, hier einen Punkt (M) und nun (BM) durch (AM) als Quotienten bilden, es muß auch eine solche Linie der konstanten Quotienten sich finden. Wir müssen also verschiedene Punkte finden, (M_1), (M_2) usw., für die immer

$$\frac{BM_1}{AM_1} = \frac{BM_2}{AM_2}$$

usw. einander gleich sind und immer einer bestimmten konstanten Zahl gleich sind. Diese Kurve ist ja der Kreis. Wir bekommen dann, wenn wir die Punkte (M_1), (M_2) suchen, einen Kreis, der etwa in diesem Verhältnis zu den Punkten (A) und (B) liegt (Fig. 8). So daß wir sagen können: Es gibt neben der Definition des Kreises, die die triviale Definition ist - daß nämlich der Kreis der geometrische Ort aller Punkte ist, die von einem festen Punkt gleich weit abstehen -, eine andere Definition des Kreises: Der Kreis ist diejenige Linie, bei der jeder Punkt die Bedingung erfüllt, daß seine Abstände von zwei konstanten Punkten, zwei fixen Punkten, in ihren Quotienten gleich sind.

Nun, hier beim Kreis haben wir die Möglichkeit, noch auf etwas anderes hinzuschauen. Denn sehen Sie, wenn wir (BM:AM) ausdrücken dutch (m:n), also

$$\frac{BM}{AM} = \frac{m}{n}$$

so bekommen wir immer entsprechende Werte in der Gleichung. Wir können den Kreis irgendwo finden. Und wenn man das tut, so bekommt man verschiedene Formen des Kreises, je nachdem das Verhältnis von (m) zu (n) ist: Wenn (n) stark größer ist als (m), bekommen wir einen stark gebogenen Kreis; wenn (n) kleiner wird, bekommen wir einen geringer gebogenen Kreis (Fig. 8, rechts), und so wird der Kreis immer größer, je weniger sich (m) von (n) unterscheidet. Und der Kreis geht dann, wenn man dieses Verhältnis (m:n) weiter verfolgt, allmählich über in eine Gerade. Sie können das in der Gleichung verfolgen. Er geht über in die Ordinatenachse selber. Der Kreis wird die Ordinatenachse, wenn (m = m), wenn also der Quotient (m:n) gleich (1) wird. Auf diese Weise geht also der Kreis allmählich über in die Ordinatenachse, in eine Gerade.

Es braucht Ihnen nicht besonders verwunderlich zu erscheinen, daß dies geschieht. Das ist ja etwas, was man sich vorstellen kann. Nun aber liegt die Sache dann anders, wenn man hier weitergehen will, wenn man sich sagt, der Kreis flacht sich immer mehr und mehr ab und wird gewissermaßen durch Abflachen von innen eine Gerade. Er wird es dadurch, daß einfach das konstante Verhältnis in dieser Gleichung eine Änderung erfährt. Es kann natürlich dieses konstante Verhältnis auch noch über 1 hinauswachsen, so daß die Kreisbögen hier erscheinen (links von der (y)-Achse), aber was hat man dann nötig mit seiner Vorstellung zu tun? Man hat etwas ganz Besonderes nötig. Man hat sich dann nämlich einen Kreis zu denken, der nicht nach innen gekrümmt ist, sondern der nach außen gekrümmt ist. Ich kann Ihnen natürlich diesen Kreis nicht aufzeichnen, aber es ist ein Kreis denkbar, der nach außen gekrümmt ist.

Nicht wahr, beim gewöhnlichen Kreis haben wir die Krümmung nach innen (Kreis a der Fig. 9, schraffierte Seite). Wenn wir seinen Weg verfolgen, so schließt er sich. Wenn wir die Konstante, die wir in der Gleichung haben, in entsprechender Weise nehmen, so bekommen wir eine Gerade. Die hat ihre Krümmung hier wiederum (rechts der Geraden, schraffierte Seite). Aber diese Krümmung, die macht es uns nicht so bequem, wie es uns die andere Krümmung machte. Die andere Krümmung tendiert überall nach dem Mittelpunkt des Kreises. Diese Krümmung (bei der Geraden) verweist uns darauf, daß der Mittelpunkt irgendwo in unendlicher Entfernung liegt, wie man sagt. Aber nun entsteht uns hier (links der Geraden) der Gedanke eines Kreises, der nach außen gekrümmt ist. Seine Krümmung ist dann nicht da (Kreis b, nicht schraffierte Seite), das wäre ja der Philisterkreis, sondern seine Krümmung ist da (Kreis b, schraffierte Seite). Und eben deshalb ist nicht dieses hier (nicht schraffiert) die Innenseite des Kreises, sondern das Außen des Kreises, und das da (schraffiert) ist das Innen des Kreises.

Und nun bitte ich Sie, vergleichen Sie damit dasjenige, was ich Ihnen hier dargestellt habe: die Cassinische Kurve mit ihren Unterarten, mit der Lemniskate und der Form, wo sie die zwei Äste hat. Und jetzt haben wir den Kreis dargestellt so, daß er einmal eine solche (gewöhnliche) Krümmung hat, daß dieses hier sein Innen, das sein Außen ist. Wir haben eine zweite Form des Kreises ((b)) - man kann jetzt nur den Kreis andeuten -, wo die Krümmung hier ist (außen) und hier ein Innen (schraffiert) und hier ein Außen (nicht schraffiert). Die erste Form des Kreises würde etwa entsprechen, wenn wir sie vergleichen mit der Cassinischen Kurve, den geschlossenen Formen derselben bis zur Lemniskate. Und wir haben jetzt einen zweiten Kreis ((b)), der nach dieser Richtung gedacht werden muß (nach außen), der seine Krümmung hier hat, sein Innen hier, sein Außen hier. Sie sehen, die Realität ist hier so, daß, wenn wir es mit dem Produkt zu tun haben, wir Formen der Cassinischen Kurve bekommen, wo wir, wenn wir aus dem Raum herausgeworfen werden, wiederum auf der anderen Seite den anderen Ast zeichnen können. Der liegt dann im Raume wieder drinnen. Aber wir werden, um von einem zum anderen zu kommen, aus dem Raume eben herausgeworfen. Hier, beim Kreis, wird die Sache schon schwieriger. Hier werden wir ja ganz gewiß auch beim Übergang vom Kreis in die Gerade aus dem Raum herausgeworfen, aber wir können dann überhaupt nicht mehr irgend etwas Geschlossenes zeichnen. Wir kommen nicht dazu. Wir können den Gedanken gerade noch räumlich andeuten, wenn wir übergehen von der Kurve des konstanten Produktes zur Kurve des konstanten Quotienten.

Es ist außerordentlich bedeutsam, daß man sich abgibt mit dem Erzeugen von Vorstellungen, die, möchte ich sagen, in solche Kurvenformen noch hineinschlüpfen. Ich bin überzeugt davon, daß die meisten derjenigen Menschen, die sich mit Mathematik abgeben, zwar zu solchen Diskontinuitäten übergehen, aber dann sich das Vorstellen doch eigentlich etwas bequem machen, indem sie sich bloß an dasjenige halten, was eben die Formeln sind und nicht übergehen zu irgend etwas, was nun die Formeln begleiten soll als eine wirklich kontinuierliche Vorstellung. Ich habe auch noch niemals gesehen, daß in der Behandlung des mathematischen Lehrstoffes ein großer Wert darauf gelegt wird, solche Vorstellungen auszubilden. Nun weiß ich nicht, ich frage die anwesenden Mathematiker, Herrn Blümel, Herrn Baravalle, ob das nicht so ist, ob also irgendwie heute im Hochschulunterricht ein großer Wert darauf gelegt wird? (Herr Dr.Carl Unger macht aufmerksam auf kinematographische Darstellungen.) Ja, das ist ein Pseudoverlauf, wenn man es irgendwie innerhalb des empirischen Raumes machen will, also durch solchen Kinematographen oder dergleichen. Dann muß man hier einen Schwindel einfügen. Es ist nicht möglich, es im empirischen Raum adäquat darzustellen, man muß einen Schwindel einfügen.

Es handelt sich nun darum, ob es irgendwo in der Realität etwas gibt, was uns nötigt, in solchen Kurven real zu denken. Das ist dasjenige, was ich als Frage aufwerfen möchte. Dazu aber möchte ich, noch bevor ich übergehe zur Charakteristik dessen, was etwa in der Wirklichkeit dem entsprechen könnte, etwas einfügen, was Ihnen vielleicht den Übergang zu der Wirklichkeit von diesen abstrakten Vorstellungen erleichtern kann. Das ist das Folgende. Sie können auch noch ein anderes Problem in der theoretischen Astronomie, in der theoretischen Physik stellen. Sie können nämlich das Problem stellen: Nehmen wir an, hier wäre eine Lichtquelle in (A) und diese Lichtquelle in (A) beleuchte einen Punkt (M) (Fig. 10). Dieser Punkt (M) würde mit Bezug auf die Stärke seines Leuchtglanzes in (B) beobachtet. Also, man beobachtet von (B) aus irgendwie mit den entsprechenden optischen Instrumenten den Leuchtglanz des Punktes (M), der von (A) beleuchtet ist. Wir würden ja selbstverständlich die Stärke dieses Leuchtglanzes verschieden sehen, je nachdem (B) von (M) entfernt ist. Aber es gibt eine Bahn, die dieser Punkt (M) beschreiben kann, die so verläuft, daß, wenn er von (A) beleuchtet ist, er in (B) immer mit derselben Glanzstärke strahlt. Es gibt eine solche Bahn.

Wir können also fragen: Welches muß die Bahn eines Punktes sein, der von einem fixen Punkte (A) beleuchtet wird, damit er in einem anderen fixen Punkte (B) im Glanz immer dieselbe Stärke hat? Und diese Kurve, in der ein solcher Punkt sich bewegt, das ist die Cassinische Kurve! Sie sehen daraus, daß hier sich hineinstellt in ein Raumverhältnis, in eine komplizierte Kurve dasjenige, was nun schon in das Qualitative hinüberfällt. Die Qualität, die wir ja schon im Leuchtglanz sehen, in der Stärke des Glanzes sehen müssen, diese Qualität wird hier abhängig von dem Figuralen in den Raumverhältnissen.

Nun, ich wollte dieses nur anführen, damit Sie sehen, daß allerdings eine Art Weg hinüberführt aus dem figural-geometrisch zu Erfassenden in das Qualitative. Aber dieser Weg ist in einer gewissen Beziehung doch wiederum weit. Und wir wollen jetzt auf etwas übergehen, was allerdings, um es in allen Einzelheiten darzustellen, Monate fordern würde, auf das ich Sie aber hinweisen will. Und Sie müssen dabei durchaus berücksichtigen, daß ich ja nur Richtlinien angeben will, deren weitere Ausführung, namentlich deren Ausführung in bezug auf die Einzelheiten, wo Sie sie immer verifiziert finden werden, eigentlich Ihnen überlassen bleibt. Denn sehen Sie, das, was als eine Beziehung zwischen Geisteswissenschaft und den heutigen empirischen Wissenschaften eintreten muß, das ist eine sehr breite Arbeit, eine ungeheuer breite Arbeit. Aber wenn Richtlinien einmal gegeben sind, so kann diese Arbeit in einer gewissen Weise ausgeführt werden. Sie ist möglich. Man muß sich nur hineinfinden in die empirischen Erscheinungen in einer ganz bestimmten Weise.

Wenn wir nun das Problem von einem ganz anderen Orte aus ergreifen — wir haben es jetzt gewissermaßen von der mathematischen Seite her zu ergreifen versucht -, so kann demjenigen, der sich mit der menschlichen Organisation befaßt, etwas doch nicht entgehen, was innerhalb unseres Kreises ja schon öfter hervorgehoben worden ist, insbesondere auch in vieler Beziehung betont worden ist bei den Besprechungen, die sich an den Dornacher Ärztekurs im Frühling 1920 angeschlossen haben. Es kann ihm nicht entgehen, daß gewisse Verhältnisse bestehen zwischen der Organisation des Hauptes und der übrigen Organisation des Menschen, zum Beispiel der Organisation des Stoffwechsels. Es ist ein zunächst undefinierbarer Zusammenhang zwischen dem, was sich in dem dritten menschlichen System, im Stoffwechselsystem mit seinen Organen abspielt, und dem, was sich im Haupte abspielt. Dieses Verhältnis, das da vorhanden ist, das ist aber schwer zu fassen. So klar es in der Erscheinung auftritt, so klar man zum Beispiel sieht, daß mit gewissen Erkrankungen Schädel-, Kopfdeformationen zusammenhängen und ähnliche Dinge, so klar solche Dinge verfolgbar sind für den, der sie vernünftig biologisch verfolgt, so schwer sind sie vorstellungsgemäß zu fassen. Gewöhnlich bleiben dann die Leute stehen dabei, daß sie sagen: Es muß irgendeinen Zusammenhang geben zwischen dem, was sich im Haupt abspielt, und demjenigen, was sich in der übrigen Organisation des Menschen abspielt. - Es ist das deshalb eine schwer vollziehbare Vorstellung, weil es dem Menschen so schwer wird, eben gerade aus dem Quantitativen ins Qualitative überzugehen. Wenn man nicht erzogen wird durch eine geisteswissenschaftliche Methodologie, diesen Übergang doch zu finden und ganz unabhängig von dem, was einem die äußere Erfahrung bietet, doch gewissermaßen dieselbe Art des Vorstellens, die man im Quantitativen anwendet, auch auf das Qualitative auszudehnen, wenn man sich nicht methodologisch dazu erzieht, dann wird sich immer für unser Begreifen eine scheinbare Grenze der äußeren Erscheinungen aufrichten.

Ich möchte nur auf eines hinweisen, wie Sie sich erziehen können methodologisch, das Qualitative in einer ähnlichen Weise zu denken wie das Quantitative. Es ist Ihnen allen bekannt die gewöhnliche Erscheinung des Sonnenspektrums, des gewöhnlichen kontinuierlichen Spektrums. Sie wissen, da gehen wir von der Farbe des Rot zu der Farbe des Violett. Nun wissen Sie ja alle, daß Goethe mit dem Problem gerungen hat, wie dieses Spektrum in gewissem Sinne das umgekehrte Spektrum ist von dem, was enstehen muß, wenn man gewissermaßen die Dunkelheit geradeso behandelt durch das Prisma, wie man gewöhnlich die Helligkeit behandelt. Man bekommt dann eine Art umgekehrten Spektrums, das Goethe ja auch angeordnet hat. Nicht wahr, beim gewöhnlichen Spektrum haben wir das Grün, hier nach dem Violetten gehend, auf der andern Seite nach dem Rot gehend (Fig. 11), und bei dem Spektrum, das Goethe bekommt, wenn er ein schwarzes Band auflegt, hat er hier das Pfirsichblüt und wiederum auf der einen Seite das Rot, auf der andern Seite das Violett (Fig. 12). Man bekommt gewissermaßen zwei Farbbänder, die in der Mitte einander entgegengesetzt sind, qualitativ entgegengesetzt sind, und die beide zunächst für uns, man möchte sagen, nach der Unendlichkeit verlaufen. Aber man kann sich zunächst einfach denken, daß diese Achse, die Längsachse des gewöhnlichen Spektrums, nicht eine einfache Gerade ist, sondern ein Kreis ist, wie ja jede Gerade ein Kreis ist. Wenn diese Gerade ein Kreis ist, dann kehrt sie in sich selbst zurück und dann können wir einfach diesen Punkt hier, in dem das Pfirsichblüt erscheint, als den anderen Punkt betrachten, in dem sich trifft das Violett, das nach rechts geht, und das Rot, das nach links geht. Es trifft sich ja links und rechts in unendlicher Entfernung. Aber wenn es uns gelingen würde - ich weiß nicht, ob Sie wissen, daß gerade nach dieser Richtung eine der ersten Versuchsanordnungen in unserem physikalisch-wissenschaftlichen Institut gemacht werden soll -, das Spektrum in gewisser Weise in sich zu biegen, dann würden auch diejenigen, die zunächst aus den Gedanken heraus die Sache nicht begreifen wollen, sehen, wie man es tatsächlich hier auch mit Qualitativem zu tun hat. Solche Vorstellungen sind Endvorstellungen des Mathematischen, wo wir genötigt sind, wie auch in der synthetischen Geometrie, die Gerade auch innerlich sachlich durchaus als einen Kreis anzusehen, wo wir genötigt sind, als unendlich fernen Punkt einer Geraden nur einen anzunehmen; wo wit genötigt sind, als eine Grenze der Ebene nicht oben und unten irgendeine Linie anzunehmen, sondern eine einzige Gerade als Grenze der Ebene anzunehmen; wo wir genötigt sind, die Grenzen des unendlichen Raumes nicht zu denken etwa sphärisch oder so etwas, sondern als eine Ebene. Aber solche Vorstellungen werden, wenn wit nur die sinnliche empirische Wirklichkeit betrachten wollen, auch in einer gewissen Weise Endvorstellungen der sinnlich-empirischen Wirklichkeit.

Nun, das leitet uns auf etwas, was sonst immer dunkel bleiben wird. Ich habe es eben erwähnt. Es leitet uns darauf, jene Vorstellungen, die wir gewinnen können, wenn wir die Lemniskatenform der Cassinischen Kurve übergehen lassen in die Zwei-Ast-Form, diese Zwei-Ast-Form, wo wit aus dem Raum heraus müssen, einmal ordentlich zu denken und dann das zu vergleichen mit demjenigen, was sich uns in der empirischen Wirklichkeit darbietet. Sie tun ja auch nichts anderes, wenn Sie die Mathematik sonst auf die empirische Wirklichkeit anwenden. Dasjenige, was Sie gegeben haben in dem Dreieck, das nennen Sie ein Dreieck, weil Sie sich das Dreieck zuerst mathematisch konstruiert haben. Sie wenden das, was innerlich konstruktiv in Ihnen ausgebildet ist, auf die äußere Form an. Es ist nur der Vorgang komplizierter, den ich jetzt angebe, aber es ist derselbe Vorgang, wenn Sie als eins denken die zwei Äste der zwei-ästigen Cassinischen Kurve. Wenden Sie diese Vorstellung an auf dasjenige, was im Haupte des Menschen den Dingen im übrigen Organismus entspricht, dann müssen Sie so denken, daß da im Haupte eine Abhängigkeit ist von dem übrigen Organismus, ausdrückbar durch einen ebensolchen Zusammenhang, durch die Gleichung, die aber eine diskontinuierliche Kurve verlangt. Sie können dies nicht verfolgen durch die anatomisierende Methode. Sie müssen aus dem, was den Körper physisch umfaßt, heraus, wenn Sie das, was im Haupte sich ausdrückt, in seinem Zuammenhang mit dem, was sich im Stoffwechsel-Organismus ausdrückt, verfolgen wollen. Sie müssen also durchaus mit Vorstellungen den menschlichen Organismus verfolgen, die nicht zu bekommen sind, wenn man für jedes einzelne Glied dieser Vorstellung eine adäquate sinnlich-empirische haben will. Man muß aus dem Sinnlich-Empirischen heraus zu etwas anderem, wenn man finden will, welches dieser Zusammenhang im Menschen ist.

Das ist, wenn man es weiter nun methodologisch verfolgt, wenn man sich wirklich einläßt auf eine solche Betrachtung, etwas, was außerordentlich aufschlußreich ist. Denn es gliedert in der Tat die menschliche Organisation in etwas ein, was nicht umfaßt werden kann, wenn man nur anatomisiert. Man wird, geradeso wie man durch die Cassinische Kurve herausgetrieben wird aus dem Raum, bei der Betrachtung des Menschen herausgetrieben aus dem Körper durch die Betrachtungsweise selbst. Es ist zunächst vorstellungsgemäß zu fassen, daß man, um den ganzen Menschen zu betrachten, herausgetrieben wird aus dem, was physisch-empirisch am Menschen zu fassen ist. Es ist durchaus nicht irgendeine Versündigung gegen die Wissenschaftlichkeit, wenn man solche Dinge anführt. Sie sind weit entfernt von dem, was öfter als reine Phantasien hypothetisch über die Naturerscheinungen gegeben wird. Denn diese Dinge gehen wirklich zurück auf die ganze Art, wie der Mensch in der Welt drinnensteht. Und Sie suchen nicht nach irgend etwas, was sonst nicht vorhanden ist, sondern Sie suchen nach etwas, was ganz dasselbe ist wie dasjenige, was sich im Verhältnis des mathematisierenden Menschen zur empirischen Wirklichkeit ausdrückt.

Es ist gar nicht die Frage, irgendwelche unberechtigte Hypothetisiererei zu suchen, sondern es ist nur die Frage, da die Wirklichkeit offenbar eine komplizierte ist, auch noch andere Erkenntnisverhältnisse zur inneren Wirklichkeit zu suchen, als es das einfache ist des mathematisierenden Menschen zu der physisch-empirischen Wirklichkeit. Und wenn Sie einmal auf solche Dinge hingesehen haben, dann werden Sie auch hingeleitet zu suchen, wie dasjenige, was außerhalb des Menschen geschieht auf anderen Gebieten als auf dem astronomischen, was geschieht außerhalb des Menschen zum Beispiel innerhalb derjenigen Erscheinungen, die wir die chemischen, die physikalischen nennen, dann werden Sie hingeleitet zu suchen, ob denn dieselben Erscheinungen, die wir außen als die chemischen betrachten, im Menschen, wenn er lebt, auch so verlaufen wie außerhalb des Menschen, oder ob sie da auch einen Übergang brauchen, der gewissermaßen aus dem Raum hinausführt.

Nun bedenken Sie die wichtige Frage, die daraus entsteht. Wir würden hier irgendeine chemische Erscheinung haben, hier die Grenze gegen das Innere des Menschen (Fig. 13). Würde diese chemische Erscheinung eine andere so hervorrufen können, daß der Mensch da (drinnen) reagiert, so würde selbstverständlich der Raum der Vermittler sein, wenn wir im empirischen Felde bleiben. Wenn aber diese Erscheinung sich fortsetzt im Menschen dadurch etwa, daß sich der Mensch durch die Nahrung ernährt und die Prozesse sich im Innern fortsetzen, dann ist die Frage: Bleibt das, was da an Kraft wirkt in der chemischen Tatsache, in demselben Raum dtinnen, in dem es sich abspielte draußen, wenn es sich im Menschen fortsetzt? Oder müssen wir vielleicht aus dem Raum heraus? Und da haben Sie das Analogon mit dem Kreis, der in eine gerade Linie übergeht. Und wenn Sie seine andere Form suchen, wo dasjenige, was sonst nach außen gewendet ist, nach innen gewendet ist, so sind Sie ganz aus dem Raume heraus.

Es ist die Frage, ob wir nicht solche Vorstellungen brauchen, die ganz aus dem Raume herausgehen, wenn sie kontinuierlich bleiben sollen, wenn wir das, was außen geschieht außerhalb des Menschen, weiter verfolgen in seinem Verlauf, wenn es sich nach dem Innern des Menschen hin fortsetzt. Das einzige, was zu sagen ist gegen solche Dinge, das ist, daß sie allerdings größere Anforderungen an die menschliche Kapazität stellen als diejenigen, mit denen man heute an die Erscheinungen herantritt, und daß sie deshalb auch im Hochschulunterricht unangenehm sind. Sie sind recht unangenehm, denn man müßte da eigentlich verlangen, daß der Mensch erst, bevor er herantritt an die Erscheinungen, etwas aufnehmen würde, was ihn befähigt, diese Erscheinungen zu erfassen. Es ist heute gar nichts Ähnliches überhaupt im Verlauf unseres Unterrichtes vorhanden, aber das muß hinein, das muß unbedingt hinein, sonst geraten wir einfach, von einer Erscheinung redend, durchaus ins Disparateste hinein, ohne daß wir irgendwie auf die Realität hinsehen. Denn bedenken Sie einmal: Was würde geschehen, wenn jemand den Kreis beobachtet, wie er sich nach dieser Seite krümmt (Fig.9, (a)), und er würde das hier betrachten, das sich nach dieser Seite krümmt ((b)), aber er bleibt der Philister, er geht absolut nicht ein darauf, daß sich jetzt der Kreis nach dieser Seite hin krümmt. Er sagt: Das gibt es ja gar nicht, daß sich der Kreis so krümmt, ich muß die Krümmung hierhetsetzen (Kreis (c) statt (b)), ich muß mich einfach auf die andere Seite stellen. Er spricht in diesem Falle scheinbar über dasselbe, nur verändert er seinen Standpunkt.

So macht man es nämlich heute einfach, indem man den Menschen innerlich schildert im Verhältnis zu dem, wie man die äußere Natur schildert. Man sagt: Dasjenige, was im Menschen drinnen ist, das gibt es ja gar nicht, sondern ich stelle mich in den Menschen hinein und sage: Dahin (c) ist die Krümmung gerichtet. Ich betrachte also das Innere ohne Rücksicht darauf, daß sich mir die Krümmung umdtreht. Ich mache das, was im Innern des Menschen ist, zu einer äußeren Natur. Ich setze mir einfach durch die Haut hindurch die äußere Natur fort. Ich drehe mich um, weil ich nicht mitgehen will mit der andersgearteten Krümmung, und dann theoretisiere ich, — Das ist das Kunststück, das heute eigentlich ausgeführt wird und das nur ausgeführt wird zur Festhaltung bequemer Vorstellungen. Man will nicht mit der Wirklichkeit gehen, und damit man das nicht zu tun braucht, kehrt man sich einfach um, und statt daß man den Menschen - das ist jetzt ein Vergleich - von der Vorderseite betrachtet, betrachtet man die Natur von der Hinterseite und gelangt dadurch zu den verschiedenen Theorien über den Menschen.

Hier wollen wir dann morgen weiter fortfahren.